03.11.2017

Der Zahlenstrahl

Kinder auf dem Weg ins formale Denken zu begleiten ist gelegentlich eine recht aufregende Sache. Wie immer finden sich bei ihnen tausenderlei Wege an, die mal schneller, mal langsamer, mal ohne großes Zutun, mal nur mit massiver Hilfe zum schulischen, nein, eigentlich denkerischen Erfolg führt. Im folgenden Artikel werde ich eine knappe und auf weniges begrenzte Materialanalyse mit fachdidaktischen Überlegungen vorstellen.

Rechnen in Kultur

Abgekürztes Zählen

Rechnen, so lautet eine kurze, zunächst überraschende Definition, ist abgekürztes Zählen. Der Weg dorthin führt schließlich zu einem Verständnis vom Zahlenraum, der die moderne Kultur prägt, mathematisch gesehen aber nur einer von vielen ist. So ist seine Beherrschung auf der einen Seite Voraussetzung für eine kompetente Teilnahme an der Kultur, auf der anderen Seite aber das Modell, von dem aus die formale, d. h. eigentliche Mathematik aufgebaut werden kann.
Umso wichtiger ist es, beim Erwerb grundlegender Rechenfähigkeit den Finger auf kritische Momente zu legen und diese gründlich zu betrachten. Ein solcher Moment der Übergang vom Einheiten-zählen zum Kopfrechnen im Hunderterraum.

Stützende Materialien

Auffällig sind dabei die vielen verschiedenen Materialisierungen, die dem Mathematiklehrer zur Verfügung stehen, vom Kastanienhaufen bis zu den Aufgabenbündeln der halbschriftlichen Addition, wie man sie häufig in Mathematikbüchern findet. Dass diese Materialien nicht einfach nur Materie sind, sondern dem rechnenden Denken voraus laufen und es stützen, schreibt Sybille Krämer in ihrem Buch Figuration, Anschauung, Erkenntnis:
Ob mit den Fingern unserer Hand, mit Perlen des Abakus, mit Rechensteinen auf dem Rechenbrett oder mit schriftlichen Zeichen auf dem Papier hantierend: Komplexe Zahlenprobleme werden lösbar durch regelhafte Manipulationen mit taktil und visuell zugänglichen Konfigurationen, die ihrerseits mit für uns unzugänglichen, nicht beobachtbaren Objekten und deren Relationen »irgendwie« verbunden sind. Das Rechnen zeigt auf elementare Weise: Geistige Tätigkeiten können so eingerichtet bzw. formatiert werden, dass sie in Gestalt handgreifliche Aktivitäten, situiert im Materialitätskontinuum der beobachtbaren Welt, vollzogen werden können. (12)

Flexibles formales Denken

Ergänzt werden muss diese Erläuterung dadurch, dass der materielle Umgang mit rechnerischen Operationen umgekehrt zum Aufbau von formalen Vorstellungen dient, sodass sich das Denken nach und nach vom materiellen Substrat ablösen kann. Ziel des Rechnens ist, den Zahlenraum in seiner Struktur und seinen Operationsmöglichkeiten zu erfassen. Ziel dieses Erfassens ist es, das Zählen flexibel abkürzen zu können. Flexibel heißt in diesem Fall, dass Rechnen in unterschiedlichen pragmatischen Situationen formal wie inhaltlich richtig verwendet wird.

Der Erwachsene und das rechnende Kind

Automatischer Erfolg

So hoch die Ziele des Mathematikunterrichts auch sind, denn nichts anderes als eine sehr eigene Art des Denkens und der Weltbetrachtung durch eine Sprache, die nicht semantisch, sondern relational ist, wird hier angestrebt; so hoch diese Ziele auch sind, so ist er Erfolg doch regelmäßig feststellbar. Dies birgt trotzdem einige Probleme, wenn man als Erwachsener Zeuge oder Anleiter von Lernprozessen wird, in denen sich Kinder den Zahlenraum gerade erarbeiten.

Unbewusste Aneignung

Denn im zweitbesten Fall hat sich der Erwachsene die Operationen und die Struktur so gut angeeignet, dass er sie „im Schlaf“ verwendet. Er hat sie überautomatisiert, sodass sie nicht mehr bewusst ausgeführt werden. Dass dies allerdings ein langer Prozess war, der nach der ersten Beherrschung mit jeder weiteren Rechnung vertieft wurde, dessen erinnern die wenigsten. So ist die Fähigkeit eines Erwachsenen, ein Ergebnis zu „sehen“, keine Selbstverständlichkeit. Mit der Leichtigkeit, mit der wir rechnen, geht gelegentlich ein mangelnder Respekt für die Kinder einher, die erst noch zu einer solchen Leichtigkeit finden müssen.

Hürden der Aneignung

Umso wichtiger ist, sich klarzumachen, wie viele verschiedene Klippen und Hürden von Kindern überwunden werden. Dazu dient eine penible und dichte Beschreibung, die ich hier an einigen wenigen, aber zentralen Rechenmaterialien aufzeigen möchte. Dabei wird der Zahlenstrahl im Zentrum stehen.
Es gibt allerdings noch einen zweiten Grund, warum zumindest Grundschullehrer sich gerade auf die Materialität ihrer Lernhilfen gut anschauen sollten. Gerade für die schwächeren Kinder muss man eine hohe Sensibilität auch für die feinstofflichen Ansprüche erarbeiten; und dazu gehört, dass man die Zwiespältigkeiten eines Modells genauso wie die Brüche beim Übergang von einem Modell zu einem anderen versteht. Um nur ein Beispiel zu nennen: der Zahlenstrahl verläuft regelmäßig von links nach rechts aufsteigend, während die ausgeschriebene Zahl von rechts nach links aufsteigt. Kindern mit einem schlechten Körpergefühl oder einer Regelunsicherheit kann dies zum Verhängnis werden und den weiteren Mathematikunterricht sogar qualvoll machen.

Im Blickpunkt: das mathematische Material

Ziel ist die Beherrschung des Zahlenraums; doch der pädagogische Anspruch muss notwendig dazu führen, den Weg dorthin genauer zu betrachten. Dazu gehört auch das mathematische Material.
Dieses möchte ich im folgenden genauer anschauen, besondere den Zahlenstrahl, aber auch die Zahlen selbst und das Hunderterfeld, welches häufig zeitgleich oder sogar im Verbund für Übungen verwendet wird.

Materialisationen

Materielle Raumzeitlichkeit

Der Werkzeugcharakter des Materials führt auf eine Schnittstelle von Raum und Zeit zurück. Ist der Raum für sich abstrakt, so wird er durch die Gegenstände darin konkret. Dasselbe gilt für die Zeit, sofern diese sich durch Veränderungen kenntlich macht. Diese Raum-Zeit wird erhandelt. An ihrer Schnittstelle findet sich der menschliche Körper, der auf seine Umwelt einwirkt.
Da der Mensch Raum und Zeit nur mittelbar begreift, spricht man auch von Verzeitlichungen und Verräumlichungen, mit denen der Mensch nicht nur auf seine Umwelt einwirkt, sondern diese erschafft.
So wird auch klar, warum Rechnen Lernmaterial braucht. Nur dadurch, dass der Zahlenraum zunächst räumlich präsent ist, kann er durchwandert werden und nach und nach ihm eigenen Raumzeitlichkeit als kognitive Struktur vorgestellt und angeeignet werden.

Vom substanziellen zum topologischen Raum

Dabei ergibt sich eine erste Schwierigkeit. Die reine Mathematik braucht einen topologischen, nicht-substantiellen Raum. Über alle Hilfsmittel der Materialisierung hinweg ist das Ziel also auch, das Denken mathematischer Topologien zu ermöglichen und zu fördern, aber eben nicht zu hindern.
Aus der Zählreihe, die ein Zahlenstrahl zunächst ist, soll eine Zahlenreihe werden, deren innere Struktur zum Lösen abstrakter und konkreter Probleme dienen kann. Kern des Problemlösens ist aber zunächst die Transformation.

Transformierendes Handeln

Schon im Zählen finden wir eine solche. Eine beliebige Menge durch das Zählen in eine Reihe gebracht und Lautbildern verbunden. Das Abzählen, auch wenn es noch sehr ungeschickt ist, führt regelmäßig dazu, dass gleiche oder ähnliche Elemente in eine Reihe gelegt werden. Damit wird auch einer der Aspekte des Zahlbegriffs erfasst: eine Zahl bezeichnet die Stellung eines Elementes in einer Reihe.
Auch die andere grundlegende Operation wird entdeckt und rasch mit Zahlen in Verbindung gebracht: aus einem Haufen wird durch das Zählen eine Menge. Gleichförmige Objekte lassen sich bündeln und sie lassen sich sogar in mehrere Bündel einteilen, die man wiederum für sich zählen kann, unabhängig der Elemente, die sich darin befinden. Eine Zahl bezeichnet die Mächtigkeit einer Menge.

Entzeitlichen

Im Bündeln wird noch eine dritte Sache erfahren, die topologische Räume kennzeichnet: diese sind „unzeitlich“; auch wenn sie Prozesse abbilden, liegen diese doch nebeneinander. Beweisen braucht zwar seine Zeit, doch der vollzogene mathematische Beweis erstreckt sich vom Anfang bis zum Ende auf der Fläche eines Papiers und kann dort in alle Richtungen durchmessen und begutachtet werden. Beständig wird die Zeit des Handelns aus der mathematischen Darstellung wieder entfernt. Selbst das Abkürzen und Zusammenfassen von Kastanien, einer Tätigkeit, die nur in der Zeit stattfinden kann, wird von den fertigen Häuflein nicht angezeigt. Schon bei grundlegenden Rechenhandlungen ist die zeitliche Abfolge darin oft unsichtbar oder sogar unverfügbar.
Da auch die Art und Weise der Materialisierung eigentlich keine Rolle spielt, besteht Rechnen durch die Abbildung eines topologischen Raumes auf sich selbst oder auf einen anderen topologischen Raum (zum Beispiel ein Koordinatensystem).

Das EIS-Modell

Dass aber Mathematik nicht vom Material abhängig ist, ermöglicht, mit verschiedenen Repräsentationen zu arbeiten. Eine für uns hier hinreichend gute Einteilung solcher Repräsentationen ist das EIS-Modell. Dabei steht E für enaktive Medien, also solche, an denen man Handlungen ausführt, I für ikonische, also solche, die man sinnlich wahrnimmt, schließlich, mit S, symbolische, die etwas anderes als sich selbst repräsentieren. Nun ist diese Einteilung kritisch zu sehen. Mit was man handelt, muss sinnlich präsent sein. Da aber in jedem Material auch Verhältnisse zu entdecken sind, die nur indirekt behandelt werden können und unsinnlich bleiben, bilden sich daran auch Symbole aus. Auf den Erwerb solcher Symbole ist die Mathematik gerichtet.
Da wir aber fließende Übergänge im Material finden, müssen wir dies auch beim Erwerb von Rechenkompetenz beachten und uns zu Nutze machen.

Repräsentation des Mathematischen

Betrachten wir zunächst das Bündeln genauer.
Enaktiv geschieht dies, wenn eine Zahlenreihe nicht Schritt für Schritt, sondern in Zweierschritten oder Fünferschritten abgezählt wird, so wie ein Verkäufer die Anzahl der Ein-Cent-Stücke aus seiner Kasse durch Zehnerbündelung rasch zu einer Gesamtsumme zusammenzählt.
Manche in der Schule verwendete Zahlenstrahle sind auf mehrfache Weise ikonisch gegliedert. So werden neben den Einern durch kurze Striche die Fünfer durch mittlere und die Zehner durch längere Striche markiert. Zudem sind die Zwischenräume von den geraden Zahlen blassblau, vor den ungeraden Zahlen blassgelb und damit in Zweierbündel eingefärbt.
Auf die symbolische Repräsentation werde ich gleich etwas ausführlicher eingehen. Wichtig ist hier zunächst den Unterschied zwischen der enaktiven und der ikonischen Repräsentation hinzuweisen.
In der enaktiven Repräsentation wird Zeit durch die körperliche Bewegung sichtbar: deshalb verweist diese auf die Reihe, während die ikonische Repräsentation, zumindest in ihrer üblichsten Form als visuelle, oft Mengen darstellt. Natürlich können auch hier Reihen dargestellt werden, doch erfordern diese häufig zusätzliche hinweisende grafische Elemente, zum Beispiel Pfeile oder, wie in Mathematikbüchern der Grundschule üblich, hüpfende Mäuse und dergleichen mehr. Beide zusammen verdeutlichen den Mengen- und den Reihenaspekt von Zahlen.

Zahlen

Ikon und Symbol

Was nun die Zahlen angeht, so sind diese zwar einerseits symbolisch. Die Ziffer ›4‹ besitzt so wenig Ähnlichkeit mit den vier Stiften, die vor einem Schüler liegen, wie das Wort ›Hund‹ mit dem Hund des Nachbarn.
Trotzdem besitzen Zahlen einen Rest an Ikonizität, bilden also ein anderes Bild in gewisser Weise ab. Die Bedeutung einer Ziffer innerhalb einer Zahl ändert sich zwar mit dem Platz, an dem sie steht. Aber wo immer auch sie zu stehen kommt, ergibt sie im Gesamtzusammenhang eine Zahl.
Würfelt man dagegen die Buchstaben eines Wortes durcheinander, erhält man auch sinnlose Kombinationen. Dadurch kann man aber auch sagen, dass die einzelnen Stellen in einer Zahl zueinander ein geregeltes Verhältnis besitzen. Sie lassen sich durch Gesetzmäßigkeiten ausdrücken, während der zweite Buchstabe in dem Wort ›Hund‹ kein anderes Verhältnis zu dem dritten hat, als dass diese eben so zusammenstehen müssen.
Die Stellen in einer Zahl beschreiben etwas, wenn auch innerhalb einer streng formalen Norm, während die Stellen in einem Wort rein normativ sind. (Allerdings vernachlässige ich hier die Morphologie von Wörtern, die dann doch eine gewisse Gesetzmäßigkeit erkennen lassen.)

Innere Analogie

Das spezifische innere Verhältnis von Zahlen kann analogisch betrachtet werden: ein Hunderter verhält sich zu einem Zehner wie ein Zehner zu einem Einer. Dieses Verhältnis ist in der Zahl gerichtet und verläuft von rechts (der kleinsten Zahl) nach links (der größten Zahl). Gegenüber dem Zahlenstrahl und dem Hunderterfeld besitzt die symbolisch codierte Zahl einen Vorteil: Sie arbeitet nicht mehr mit räumlichen Proportionen von gleichwertigen Elementen, sondern mit einer gleichartigen Bündelungsart: immer zehn von der nächst niedrigeren Mächtigkeit. Nur so können Einer auf dieselbe Weise gebündelt werden, wie Zehner, Hunderter und Tausender.
Deutlich dürfte sein, dass sich auch hier einige Hürden aufzeigen lassen. Die erste Hürde ist die Richtung. So zeigen die Zahlenstrahlen von links nach rechts, während die Zahl von rechts nach links zeigt. Zudem ist die Benennung der Zahlen gelegentlich anders als die Stellen, die aufgeschrieben werden müssen. Wir sagen zwar ›dreihunderteinundsiebzig‹, aber wir schreiben nicht ›317‹ sondern ›371‹. Wird die Zahl dagegen in ihrer Richtung anders aufgefasst, liest man gelegentlich auch ›713‹.

Kontextbedeutung von Zahlen

Eine andere Hürde kann sich daraus ergeben, dass Zahlen zwar häufig, aber nicht nur zum Rechnen benutzt werden. Wenn Peter im Haus mit der Nummer 5 wohnt, Jörg dagegen mit der Nummer 6, wohnen sie, wenn sie zusammenziehen, nicht automatisch im Haus mit der Nummer 11.
Auch lassen sich aus dem Gewichtsangaben für die Zutaten eines Plätzchenteiges nicht die Anzahl der Plätzchen mathematisch errechnen. Dieses Verhältnis lässt sich nur abschätzen; nun ist abschätzen ebenfalls eine wichtige mathematische Kompetenz, aber eine, die wir hier beiseite lassen wollen.

Bedeutungsvielfalt materialisierter Zahlen

Deutlich aber sollte sein, dass Zahlen in unserer Umwelt nicht nur im streng mathematischen Sinne ordnen, sondern auch noch andere Ordnungs- und Orientierungsfunktionen wahrnehmen können, und dass die Verknüpfung von Zahlen zwar formal möglich, aber häufig nicht praktisch und sinnvoll ist.
Zudem sollte klar geworden sein, dass der formelle Abstand zwischen der Kastanienreihe und dem Zahlenstrahl ein gänzlich anderer ist, als der zwischen einem Zahlenstrahl und dem Aufbau der symbolisierten Zahlen. Insbesondere aber die als Wort ausgeschriebene Zahl bereitet Kindern immer wieder Mühe, da sie eine Unterbrechung der Gerichtetheit beinhalten.

Das Hunderterfeld

Aufbau des Hunderterfeldes

Um die Leistungsfähigkeit der symbolisierten Zahlen zu verdeutlichen, schauen wir uns jetzt das Hunderterfeld an. Das Hunderterfeld enthält die ersten 100 Zahlen, angefangen mit der Eins. Das Feld ist in zehn Zeilen und zehn Spalten aufgeteilt. Werden die Zahlen ausgeschrieben, so steht die Eins in der Ecke links oben, die 100 in der Ecke rechts unten. Von der Eins aus wird zunächst nach rechts weiter gezählt. Sobald die erste Zeile gefüllt ist, wird die zweite von links nach rechts ausgefüllt, und so weiter bis zum letzten Feld.
Die einzelnen Felder stehen dann zusammen mit der Symbolisierung darin für jeweils eine Zahl. Die Gleichförmigkeit wird durch die gleichgroßen Quadrate des Feldes unterstrichen. Allerdings wird die Linearität des Zahlenstrahls aufgebrochen. Und auch die Möglichkeit des Immer-weiter-so, welches manche Kinder im Zahlenstrahl entdecken, scheint das Hunderterfeld nicht zu bieten. Es ist begrenzt, oder wird als begrenzt wahrgenommen.

Problematische Übergänge

Nun kann das Hunderterfeld zwar zur Verwirrung führen; denn zum einen ist für manche Kinder das Wechseln der Zeile beim Abzählen schwierig: sie geraten regelmäßig zum Beispiel beim Übergang von der 30 zur 31 entweder auf die 21 oder die 41. Und zum anderen verwirrt Kinder gelegentlich auch der fast entgegengesetzte Aufbau von Zahlenstrahl und Hundertfeld: ist beim Zahlenstrahl die Zahl durch einen Strich repräsentiert, der Sprung aber durch eine weiße Lücke, so ist im Hundertfeld die Zahl ein weißes Feld, während der Sprung durch die als Strich gezeichnete Abgrenzung zweier Felder dargestellt wird.

Verdeutlichungen

Trotz dieser Unsicherheiten bietet aber dieser Wechsel auch mehrere Vorteile. Die verschiedenen Repräsentationen fördern die Kinder, vom materiellen Substrat abzusehen und den Zahlenraum zu denken. Zum anderen verdeutlicht der besondere Aufbau des Hunderterfeldes den Aufbau der Zahlensymbole. Es erfährt nämlich deutlicher, dass 37 + 6 und 57 + 6 im Ergebnis zum selben Einer führen und in dieselbe Spalte.

Rechenstrategien

Grundlegend müssen Kinder nicht nur das Rechnen im Hunderterraum lernen, sondern vor allem auch Rechenstrategien. Rechenstrategien helfen Kindern, günstigere Rechenwege zu finden und dadurch schneller zu richtigen Ergebnissen zu kommen. Eine Rechenstrategie ist zum Beispiel 99 + 88 in folgender Weise zu rechnen: 100 + 90 und dann 3 abzuziehen. Je länger Zahlen werden, umso eher können und müssen verschiedene Strategien miteinander kombiniert werden. Dann aber ist es günstig, wenn diese vorher gut eingeübt worden sind, so dass sie automatisch gesehen und ausgeführt werden.

Wege zum formalen Denken

Abstrahieren und verinnerlichen

Didaktisch gesehen hat dieser Teil des Mathematikunterrichts zwei Aufgaben, die mehr und mehr zusammengeführt werden: es führt die Kinder von der Materialisierung über die Visualisierung zur reinen Vorstellung, und zugleich führt es sie vom Handeln über das Sehen zum Denken. Der Unterricht hat als Leitlinien die zunehmende Abstraktion und die zunehmende Verinnerlichung und als Ziel das formale Denken.

Mathematisieren

Einen der wichtigsten Aspekte werde ich allerdings nicht beleuchten: das Mathematisieren oder, länger formuliert, das mathematische Modellieren. In der angewandten Mathematik werden mathematische Zusammenhänge in die Umwelt hinein- und herausgelesen. Solche Formalisierungen helfen gerade durch ihre Strenge und ihre begrenzte Sicht auf die Wirklichkeit auch wieder, dieses andere, das Nicht-Formalisierbare, in den Blick zu rücken.

Sachtexte

Tatsächlich bildet aber gerade dieser Aspekt für mich auch noch zahlreiche Hürden. Er ist wesentlich komplexer zu beschreiben als der oben dargestellte. Dass man ihm doch mit einiger Dringlichkeit Aufmerksamkeit zukommen lassen sollte, wird nicht nur daraus verständlich, dass angewandte Mathematik den weitaus größten Teil mathematischer Praxis in wohl jeglicher Kultur ausmacht. Zudem liegt gerade bei der Vermittlung auch für Kinder und Lehrer eine besondere Hürde. Dies sieht man schon alleine daran, dass Sachaufgaben nicht sonderlich beliebt sind.
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